An Approximation to the Average Run Length of an EWMA Control Chart for a Time Series Model with Seasonality from the Numerical Integral Equation

Abstract

This study aims to investigate methods for approximating the Average Run Length (ARL) using the Numerical Integral Equation (NIE) technique through four approaches: the Midpoint Rule Method, the Trapezoidal Rule Method, the Gaussian Rule Method, and the Simpson’s Rule Method. The study focuses on the Exponentially Weighted Moving Average (EWMA) control chart for seasonal time series models. Specifically, it examines real-world time series data under the SARFIMA(1, 0, 0)(1, D, 0)12 model, where the exponential white noise. The evaluation is based on the out-of-control ARL (ARL1) and the computation time (CPU Time). The results show that the ARL values obtained from the Midpoint Rule, Trapezoidal Rule, Gaussian Rule, and Simpson’s Rule are comparable, while the Midpoint Rule requires the least computation time among the four methods. This approach can be effectively applied to real-world data.

งานวิจัยนี้มีวัตถุประสงค์เพื่อศึกษาวิธีการประมาณค่าความยาวรันเฉลี่ย (Average Run Length: ARL) โดยใช้เทคนิคสมการปริพันธ์เชิงตัวเลข (Numerical Integral Equation: NIE) จาก 4 วิธี คือ วิธีกฎค่ากลาง (Midpoint Rule Method) วิธีกฎสี่เหลี่ยมคางหมู (Trapezoidal Rule Method) วิธีกฎของเกาส์ (Gaussian Rule Method) และวิธีกฎของซิมป์สัน (Simpson’s Rule Method) บนแผนภูมิควบคุมค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่ถ่วงน้ำหนักแบบเลขชี้กำลัง (Exponentially Weighted Moving Average Control Chart: EWMA) สำหรับตัวแบบอนุกรมเวลาที่มีฤดูกาล โดยงานวิจัยนี้มุ่งเน้นศึกษาตัวแบบอนุกรมเวลาในสถานการณ์จริงภายใต้ตัวแบบ SARFIMA(1, 0, 0)(1, D, 0)12 เมื่อความคลาดเคลื่อนขาวมีการแจกแจงแบบเลขชี้กำลัง วัดจากค่ายาวรันเฉลี่ยเมื่อตัวแบบไม่อยู่ภายใต้การควบคุม (Out-of-control ARL: ARL1) และทำการเปรียบเทียบเวลาที่ใช้ในการประมวลผล (CPU Time) ผลการวิจัยพบว่าค่าความยาวรันเฉลี่ยที่ได้จากวิธีกฎค่ากลาง วิธีกฎสี่เหลี่ยมคางหมู วิธีกฎของเกาส์ และวิธีกฎของซิมป์สัน มีค่าไกล้เคียงกันในขณะที่เวลาในการประมวลผลโดยวิธีกฎค่ากลางใช้เวลาในการประมวลผลน้อยที่สุดเมื่อเทียบกันทั้ง 4 วิธี และสามารถนำไปประยุกต์ใช้กับข้อมูลจริงได้